Zweiter Anlauf:

Die 23. der Definitionen (Ὅροι) in den Elementen des Euklid lautet:

Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.

Auf diese Definition läßt sich das berühmte 5. Postulat beziehen:

Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσιν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.

Wenn zwei Geraden, die in einer Ebene liegen, sich mit einer anderen Geraden schneiden und wenn die Summe der Innenwinkel auf der einen Seite weniger als diejenige von zwei rechten Winkeln ausmacht, dann werden sich die Geraden schneiden, wenn sie auf der Seite, auf der die Winkelsumme weniger ist als zwei rechte Winkel, ausreichend verlängert werden.

Andernfalls schneiden sich die (parallelen) Geraden eben nicht.

Auch wenn dieses 5. Postulat nie bewiesen werden konnte und deshalb als Axiom galt - was könnte einleuchtender sein?

Dann aber zeigten im 19. Jahrhundert zwei Mathematiker, daß dem nicht so ist und daß es sogar zwei nichteuklidische Geometrien gibt: Nikolaij Lobatschewskij (1792-1856) formulierte die Lobatschewskijsche Geometrie, Bernhard Riemann (1826-1866) die Riemannsche.

Bei Lobatschewskij gibt es für eine Gerade L und einen Punkt P nicht auf L mindestens zwei Geraden durch P, die L nicht schneiden, also parallel zu L sind; bei Riemann gibt es keine.
Beide gelten für gekrümmte Flächen.

Ich bekomm's nicht hin. An der braunen Stelle endet das Euklid-Zitat.

Man muß neuerdings zwischen dem letzten Wort und [ /quote ] eine Leerstelle lassen.