https://www.arte.tv/de/videos/111663-001-A/die-odyssee-der-zahlen-1-3/

1. Die Geburtsstunde: Zählen ohne Zahlen
Bevor es Symbole gab, herrschte das Eins-zu-eins-Prinzip. Hirten legten für jedes Tier einen Kieselstein auf einen Haufen.

Kerbhölzer: Der Ishango-Knochen (ca. 20.000 Jahre alt) zeigt regelmäßige Einkerbungen als frühen Beweis für mathematisches Ordnen.

2. Die ersten Hochkulturen: Mengen bändigen
In Mesopotamien und Ägypten mussten Ernten und Handel verwaltet werden.

Sumerer: Nutzung des Sexagesimalsystems (Basis 60). Daher stammen unsere 60 Minuten und der 360-Grad-Kreis.

Ägypter: Hieroglyphen für Zehnerpotenzen. Eine Million wurde als staunender Mann mit erhobenen Armen dargestellt.

3. Die Revolution der Null: Indien und Arabien
Die Erfindung der Null ermöglichte erst ein effizientes Stellenwertsystem.

Indien: Mathematiker wie Brahmagupta definierten die Null erstmals als eigenständige Zahl.

Arabische Welt: Al-Chwarizmi (Ursprung des Wortes Algorithmus) brachte dieses System in den Westen. Leonardo Fibonacci verbreitete es im 13. Jahrhundert in Europa.

4. Die Entdeckung des Unmöglichen: Neue Zahlenarten

Irrationale Zahlen: Die Pythagoreer entdeckten, dass Zahlen wie Wurzel aus 2 nicht als Bruch darstellbar sind – ein Schock für das antike Weltbild.

Negative Zahlen: Lange als "falsche Zahlen" (fictae) abgelehnt, dienten sie später der Bilanzierung von Schulden.

Imaginäre Zahlen: Um Gleichungen wie x² = -1 zu lösen, wurde die Einheit i erschaffen. Sie ist heute essenziell für die Quantenphysik.

Gerd Faltings hat den Abelpreis für Mathematik bekommen, u.a. weil er den Beweis für die Mordellsche Vermutung geliefert hat. Hat das Folgen auch außerhalb der Mathematik?

https://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Mordell

Folgen?
Soweit ich sehe, nichts, was mir wie Rilkes Apollon-Torso sagt: "Du mußt dein Leben ändern."

Hat das Folgen auch außerhalb der Mathematik?

Die Mordellsche Vermutung (Satz von Faltings)

1. Die Kernaussage
Die Vermutung besagt, dass algebraische Kurven über den rationalen Zahlen, die ein Geschlecht g von 2 oder höher besitzen, nur eine endliche Anzahl von rationalen Punkten haben können.

2. Was ist das „Geschlecht“ (g)?
In der Geometrie beschreibt das Geschlecht die Anzahl der „Löcher“ in einer Oberfläche:
Geschlecht 0 (g=0): Ähnlich einer Kugel. Diese Kurven haben entweder gar keine oder unendlich viele rationale Punkte.
Geschlecht 1 (g=1): Ähnlich einem Donut (elliptische Kurven). Hier gibt es entweder endlich viele oder unendlich viele rationale Punkte.
Geschlecht 2 oder höher (g >= 2): Ähnlich einer Brezel (zwei oder mehr Löcher). Hier garantiert der Satz: Es gibt immer nur eine endliche Anzahl von Lösungen.

3. Historische Bedeutung
Die Vermutung wurde 1922 von Louis Mordell aufgestellt. Sie blieb über 60 Jahre lang eines der größten ungelösten Probleme der Mathematik, bis der deutsche Mathematiker Gerd Faltings sie 1983 bewies.

4. Der Beweis durch Gerd Faltings
Für diesen Beweis erhielt Faltings 1986 die Fields-Medaille, die höchste Auszeichnung in der Mathematik. Sein Beweis war deshalb so bedeutend, weil er zeigte, dass die Komplexität der Geometrie (die Anzahl der Löcher) direkt die Anzahl der möglichen Zahlenlösungen begrenzt.

5. Bezug zum Großen Satz von Fermat
Bevor Andrew Wiles den Satz von Fermat endgültig bewies, lieferte Faltings mit der Mordellschen Vermutung ein wichtiges Teilresultat: Er bewies, dass die Gleichung x^n + y^n = z^n für n >= 3 höchstens endlich viele ganzzahlige Lösungen haben kann.

PS:
Hier sind die wichtigsten Bereiche außerhalb der reinen Mathematik:
1. Kryptographie und Datensicherheit
Die moderne Verschlüsselung (z. B. beim Online-Banking oder bei Messenger-Diensten wie WhatsApp) basiert fast vollständig auf der Zahlentheorie.
Faltings’ Beweis befasst sich mit rationalen Punkten auf Kurven.
Genau diese Kurven (insbesondere elliptische Kurven, Geschlecht g=1) sind die Basis für die ECC-Verschlüsselung (Elliptic Curve Cryptography).
Obwohl Faltings sich mit Kurven höheren Geschlechts (g≥2) befasste, lieferte sein tiefer Einblick in die Geometrie dieser Kurven das theoretische Fundament, um zu verstehen, welche Kurven "sicher" für Verschlüsselungen sind und welche nicht.

2. Theoretische Physik (Stringtheorie)
In der modernen Physik, insbesondere in der Stringtheorie, wird das Universum nicht nur in drei oder vier Dimensionen beschrieben, sondern in zehn oder mehr.
Diese zusätzlichen Dimensionen werden oft als winzige, gekrümmte geometrische Räume modelliert (sogenannte Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten).
Die mathematischen Werkzeuge, die Faltings entwickelte (die Arakelov-Theorie), werden von Physikern genutzt, um die Geometrie dieser extradimensionalen Räume zu berechnen. Ohne diese Mathematik ließen sich bestimmte physikalische Modelle der Weltentstehung gar nicht formulieren.

3. Informatik und Algorithmen
Faltings hat gezeigt, dass die Anzahl der Lösungen für bestimmte komplexe Gleichungen endlich ist.
Für die Informatik ist das Wissen, ob eine Suche nach einer Lösung überhaupt jemals enden kann (Terminierung), fundamental.
Seine Methoden haben die Entwicklung von diophantischen Algorithmen beeinflusst. Das sind Rechenverfahren, mit denen Computer versuchen, ganzzahlige Lösungen für hochkomplexe Probleme zu finden, was unter anderem in der Logistik und bei Optimierungsprozessen eine Rolle spielt.

4. Ein neues Verständnis von "Logik"
Außerhalb der Technik hat Faltings’ Erfolg eine philosophische Folge: Er hat bewiesen, dass geometrische Form (wie viele Löcher hat ein Gebilde?) die Arithmetik (welche Zahlen lösen die Gleichung?) diktiert. Das hat unser Verständnis davon verändert, wie eng Logik, Form und Zahl miteinander verwoben sind. Es zeigt, dass es im Universum eine tiefe, ordnende Struktur gibt, die über das bloße Rechnen hinausgeht.

νύξ,
bin beeindruckt von deinem Wissen. Bist du Mathematiker o. ä.?

Die Bedeutung einer Sache, die ich nicht verstehe, ist für mich nicht absehbar, daher konnte ich Quoths Frage nicht beantworten. Bin dankbar fuer deine Erläuterungen.

Zitat von νύξ am 20.3.26, 4:46

Es zeigt, dass es im Universum eine tiefe, ordnende Struktur gibt, die über das bloße Rechnen hinausgeht.

Na, wenn das nichts ist! Mein Bruder (Physiker) pflegt zu sagen: "Wenn es einen Gott gibt, muss er ein großer Mathematiker sein."

Wieso besagt ein mathematischer Beweis etwas über die Struktur der Welt/des Universums?
Ich dachte, das seien zwei Bereiche, und die Anwendbarkeit des einen auf den anderen sei ein ungelöstes Rätsel.

Wieso besagt ein mathematischer Beweis etwas über die Struktur der Welt/des Universums?

Das verstehe ich auch nicht.

Ich meinte die praktischen Anwendungen, von denen ich ahnte, dass es sie gibt, die ich aber nicht kannte (Pkt. 1-3)

Man kann natürlich die Mathematik selbst als eine solche Struktur ansehen; aber mit welchem Recht wir sie auf die empirische Welt anwenden, das ist m.W. ungeklärt.
Ich kann mir auch nicht vorstellen, daß es für diese Berechtigung einen mathematischen bzw. logischen Beweis gibt.
Kant hat das mal versucht.

Zitat von Γραικύλος am 20.3.26, 10:58

Man kann natürlich die Mathematik selbst als eine solche Struktur ansehen; aber mit welchem Recht wir sie auf die empirische Welt anwenden, das ist m.W. ungeklärt.

Die Berechtigung für die Anwendung des Archimedischen Hebelgesetzes beim Bau einer Zange oder eines Krans ergibt sich einfach aus der Praxis: Bei seiner Anwendung kneift die Zange und der Kran hebt. Wozu bedarf es da eines Rechts?

@νύξ

Bitte erkläre, wie du Pkt. 4 gemeint hast, wir können dir noch nicht ganz folgen.

Wozu bedarf es da eines Rechts?

Das verstehe ich so, dass eine mathematische Struktur auf eine Struktur des Universums angewandt wird, welche für unsere Empirie nicht zugänglich ist.

Warum besagt Mathematik etwas über das Universum?

1. Mathematik als Sprache der Natur
Das Universum scheint grundlegenden Regeln zu folgen (z. B. der Schwerkraft). Da diese Regeln logisch aufgebaut sind, ist die Mathematik die einzige Sprache, die diese Logik präzise abbilden kann. Ein mathematischer Beweis zeigt, was innerhalb eines logischen Systems zwingend wahr sein muss.

2. Strukturen und Grenzen (Das Beispiel Faltings)
Mathematische Beweise setzen „Leitplanken“. Wenn Gerd Faltings beweist, dass eine bestimmte Form (eine Kurve mit zwei Löchern) nur eine endliche Anzahl von Lösungen zulässt, dann ist das eine universelle Wahrheit. Sollte die Physik jemals auf eine solche Struktur im Universum stoßen, garantiert die Mathematik bereits im Vorfeld, dass es dort keine unendlichen Möglichkeiten gibt. Die Mathematik bestimmt also die Grenzen des physikalisch Möglichen.

3. Vorhersagekraft durch Logik
Oft berechnen Mathematiker abstrakte Modelle, für die es zum Zeitpunkt des Beweises noch gar keine Anwendung gibt. Erst Jahrzehnte später stellen Physiker fest, dass sich die Natur exakt an diese Modelle hält. Ein berühmtes Beispiel sind Schwarze Löcher: Sie wurden erst auf dem Papier berechnet (Mathematik), bevor man sie im Weltraum tatsächlich nachweisen konnte (Physik).

4. Symmetrie als Bindeglied
Das Universum liebt Symmetrien. Da die Mathematik die Wissenschaft der Muster und Symmetrien ist, liefert sie die Blaupause für den Aufbau von Materie. Von der Anordnung der Atome in einem Kristall bis hin zur Form von Galaxien – die zugrunde liegende Struktur ist rein mathematisch definiert.

Fazit
Ein mathematischer Beweis ist wie das Skelett der Wirklichkeit. Er ist deshalb so aussagekräftig, weil unser Universum nach allem, was wir wissen, kein Chaos ist, sondern einer tiefen, logischen Ordnung folgt. Mathematik macht diese unsichtbare Ordnung sichtbar.

Beispiel:

Die Entdeckung des Neptun: „Sieg mit der Feder“

1. Das Problem mit Uranus
Im frühen 19. Jahrhundert beobachteten Astronomen den Planeten Uranus. Sie stellten fest, dass er sich nicht exakt so bewegte, wie es die Newtonschen Gesetze der Gravitation vorhersagten. Er „torkelte“ ein wenig auf seiner Bahn.

2. Die mathematische Hypothese
Anstatt zu glauben, dass die Gesetze der Physik falsch seien, vertrauten zwei Mathematiker – Urbain Le Verrier in Frankreich und John Couch Adams in England – blind auf die Mathematik. Sie stellten die Hypothese auf: Es muss einen weiteren, noch unbekannten Planeten geben, dessen Schwerkraft an Uranus zieht.

3. Rechnen statt Teleskopieren
Le Verrier nutzte rein mathematische Gleichungen, um die Masse und die Position dieses unsichtbaren Objekts zu berechnen. Er schaute nicht ein einziges Mal durch ein Teleskop. Er schickte seine Berechnungen per Brief an die Sternwarte in Berlin zu Johann Gottfried Galle.

4. Der Beweis am Himmel
Am 23. September 1846 erhielt Galle den Brief. Er richtete sein Teleskop genau auf die Koordinaten, die Le Verrier mathematisch ermittelt hatte. In weniger als einer Stunde fand er den Planeten – nur ein Grad von der vorherberechneten Stelle entfernt. Es war der Neptun.
Warum das so bedeutend ist

Dieses Ereignis zeigte der Welt:

Mathematik ist eine Vorhersage-Maschine: Man kann Dinge „sehen“, die physisch noch unsichtbar sind, weil die Logik der Zahlen die Struktur der Realität vorgibt.

Das Universum ist berechenbar: Wenn die Mathematik eine Lücke in einer Struktur (wie einer Planetenbahn) aufzeigt, dann füllt die Natur diese Lücke fast immer mit einem realen Objekt oder Gesetz.

An Quoth:

Wie ist es möglich, daß eine nicht-empirische Wissenschaft, die zudem auf nicht-beweisbaren Annahmen beruht (Kurt Gödel), also im Grunde eine große Tautologie ist, auf die empirische Wirklichkeit angewendet werden kann?

(Die mittelalterliche Antwort, daß Gott, der Schöpfer dieser Wirklichkeit, die Mathematik geliebt und es deshalb so eingerichtet habe, lasse ich mal auf sich beruhen.)

Du kannst feststellen, daß es funktioniert; doch das beantwortet die Frage nach dem Wieso nicht.

Um ein Beispiel zu nennen, so wie ich es verstanden habe:

Paul Dirac hat Einsteins Gleichung E = m^.c² quadriert und dann die Wurzel daraus gezogen. Mathematisch kann man das machen, aber es ergaben sich ein Resultat mit positiven und eines mit negativen Werten.
Daraus hat Dirac abgeleitet, daß es soetwas wie eine Antimaterie geben müsse. Ein kühne Prognose: Weil es mathematisch korrekt ist, muß es das auch in der Wirklichkeit geben!
Tatsächlich hat man sie Jahrzehnte später nachgewiesen, diese Antimaterie.

Für mich ist das ein Rätsel.

Es funktionniert nicht immer.
Die mini schwarzen Löcher, die sich ausweiten und die Welt verschlingen sind mathematisch korrekt, real hat man sie nicht entdeckt.

Weil es mathematisch korrekt ist, muß es das auch in der Wirklichkeit geben!

Die Wirklichkeit der Quantenmechanik kann sich
kein Mensch vorstellen, dennoch gibt es sie und er nutzt er sie ,
weil mathematisch beschreibbar und technologisch umsetzbar.
Und weil auch hier die Naturgesetze gelten.

Die mini schwarzen Löcher,

Welche meinst? Was heißt "mini"?
Es soll welche geben mit Milliarden an Sonnenmassen.
Sagittarius A* soll 4 Millionen haben.

engl. Micro Black Hole

es gibt Berechnungen, wonach die stabil sein können

entdeckt wurden bis dato noch keine

Die könnte man sicher gut im Haushalt als Müllschlucker einsetzen.

Hahaha, sehr praktisch

Die könnte man sicher gut im Haushalt als Müllschlucker einsetzen.

Nur wird es den Mülleinwerfer gleich mit verschlucken.

es gibt Berechnungen, wonach die stabil sein können

Nach Stephen Hawking verdampfen auch schwarze
Löcher, die letzten in 10¹⁰⁰ Jahren.
Das ist 10⁹⁰-mal die Zeit in Jahren seit dem Urknall.
10⁸⁰ist geschätzte Zahl in Jahren aller Atome im Kosmos = ca.5%
der im Urknall in baryonische Masse umgewandelten Energie

PS:
Zum Protonenzerfall:
https://de.wikipedia.org/wiki/Super-Kamiokande

Am Ende war Hawking ein vermeintlich realitätsschaffender Mathematiker.
Zuweilen erscheint mir die Struktur unseres Gehirns grenzwertig zu sein. It‘s beyond me/us.

PPS:

Wissenschaftliche Bedeutung

Stabilität der Materie: Wenn Protonen zerfallen, wäre alle Materie im Universum letztlich vergänglich. Bisherige Messungen am Super-Kamiokande
haben jedoch gezeigt, dass die mittlere Lebensdauer eines Protons mindestens
bis
Jahre betragen muss.
GUT (Grand Unified Theories): Der Nachweis des Zerfalls würde helfen, "Große Vereinheitlichte Theorien" zu bestätigen, die die Grundkräfte der Physik zusammenführen.
Nobelpreise: Die Forschung in Kamioka führte bereits zu zwei Nobelpreisen in Physik für die Entdeckung von Neutrinos und deren Oszillation (Masatoshi Koshiba 2002 und Takaaki Kajita 2015).

Bisher konnte trotz jahrzehntelanger Beobachtung kein einziger Protonenzerfall zweifelsfrei nachgewiesen werden.

Es hat etwas von Morgenstern, umgekehrt:
„Weil nicht sein kann, was nicht sein darf“.

Da νύξ uns nicht verriet, was er meinte mit

4. Ein neues Verständnis von "Logik"

ist es sinnlos dafür Beispiele zu suchen.

(Ich brachte die theoretisch mgl. stabilen micro hblack holes nur als Bsp. für Γραικύλος Vermutung, was mit 4. gemeint sein könnte.)