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Altgriechisch Wörterbuch - Forum
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Euklid, Riemann, Lobatschewskij (675 Aufrufe)
Γραικίσκος schrieb am 24.05.2011 um 21:24 Uhr (Zitieren)
Die ersten fünf Axiome des Euklid

1. Zwischen zwei beliebigen Punkten kann eine Strecke gezogen werden.
2. Jede Strecke kann unbegrenzt gerade verlängert werden.
3. Ein Kreis kann mit jedem vorgegebenen Punkt als Mittelpunkt und jedem vorgegebenen Radius gezogen werden.
4. Alle rechten Winkel sind gleich.
5. Wenn zwei Geraden, die in einer Ebene liegen, sich mit einer anderen Geraden schneiden und wenn die Summe der Innenwinkel auf der einen Seite weniger als diejenige von zwei rechten Winkeln ausmacht, dann werden sich die Geraden schneiden, wenn sie auf der Seite, auf der die Winkelsumme weniger ist als zwei rechte Winkel, ausreichend verlängert werden.

Das fünfte, das Parallelenaxiom, ist äquivalent mit jeder der folgenden Aussagen:

1. Wenn eine Gerade eine von zwei Parallelen schneidet, schneidet sie auch die andere.
2. Geraden, die parallel zu derselben Geraden verlaufen, sind parallel zueinander.
3. Zwei Geraden, die einander schneiden, können nicht zu derselben Geraden parallel sein.
4. In einer Ebene seien eine Gerade L und ein Punkt P nicht auf L gegeben. Dann gibt es genau eine Gerade durch P, die parallel zu L ist.

Die vierte Formulierung stammt von dem britischen Mathematiker John Playfair (1748-1819) und wird nach ihm „Playfair-Axiom“ genannt.

Die Ersetzung des Parallelenaxioms

Die beiden nichteuklidischen Geometrien ersetzen das Playfair- Axiom durch folgende zwei Axiome:

• Die Lobatschewskijsche Geometrie: In einer Ebene sei eine Gerade L und ein Punkt P nicht auf L gegeben. Dann gibt es mindestens zwei Geraden durch P, die parallel sind.
• Die Riemannsche Geometrie: In einer Ebene sei eine Gerade L und ein Punkt P nicht auf L gegeben. Dann gibt es keine Gerade durch P, die parallel zu L wäre.

Daß es mehr (Lobatschewskij) oder weniger (Riemann) als eine Parallele durch einen Punkt P zu einer Geraden L geben könnte, hat Euklid sich nicht träumen lassen.
Ein Mathematiker hat's mir heute erklärt.
Leicht war's nicht.
Re: Euklid, Riemann, Lobatschewskij
ανδρέας schrieb am 24.05.2011 um 22:15 Uhr (Zitieren)
Wann kam Lobatschewskij auf die nichteuklidische Geometrie?

Schon als kleiner Junge: sein Ball war umgekippt.
Re: Euklid, Riemann, Lobatschewskij
Βοηθὸς Ἑλληνικός schrieb am 25.05.2011 um 08:50 Uhr (Zitieren)
Was hätte Einstein ohne die Riemannsche Geometrie in gekrümmten Räumen gemacht?
Das war eine wichtige Komponente in der ART.
Riemann war ein Genie, auch wenn er nur knappe 40 Jahre alt geworden ist.
Er reiht sich ein in die Phalanx der Mathematiker und Physiker des 19./20.Jhds.
Da gab es in kurzer Zeit einen riesen Schub in der modernen Mathematik/Physik durch solche Genies.
Re: Euklid, Riemann, Lobatschewskij
Γραικίσκος schrieb am 26.05.2011 um 17:01 Uhr (Zitieren)
Euklids Irrtum, auch sein 5. Axiom sei evident, weil wir es uns nicht anders (anschaulich) vorstellen können, sollte uns vorsichtig machen hinsichtlich der Annahme, etwas müsse so sein.
"Es gibt mehr Dinge zwischen Himmel und Erde,
Als eure Philosophie sich träumen läßt."
 
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