Inspiriert durch die (lateinischen) Definitionen, mit denen der Text beginnt, wage ich mal eine - vermutlich sehr laienhafte - Frage: Wenn ein Punkt keine Ausdehnung hat und eine Linie aus Punkten besteht - woher kommt dann die Ausdehnung der Linie?

Ein Punkt in der Mathematik ist dimensionslos, er bezeichnet z.B. die Lage in einem Koordinatensystem (z.B. zweidimensional (x,y) oder auch dreidimensional (x,y,z) oder auch im mehrdimensionalen Raum...
Die Linie ist eine Verbindung zweier Punkte im Koordinatensystem...
Übrigens habe ich gerade gemerkt, dass die Exhaustionsmethode als Vorstufe der Integralrechnung im Buch XII beschrieben wird....Da werde ich mich aber erst am Wochenende genauer beschäftigen können..

Besteht eine Linie nicht selber aus Punkten?
Setzt er den Raum (das Koordinatensystem) einfach voraus und lokalisiert darin Punkte?
(Bitte um Entschuldigung, aber ich bin in Mathematik ein blutiger Laie und wage diese Frage hier nur, weil sie das Verständnis von Euklids Axiomen betrifft.)

Euklid definiert den Punkt als das, was keine Teile hat.
Zur Linie sagt er "breitenlose" Länge....
Die moderne Definition in der analytischen Geometrie für Punkt und Gerade ist:
In der analytischen Geometrie wird der geometrische Raum als n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K dargestellt. Jedes Element dieses Vektorraums wird als Punkt bezeichnet. Eine Basis legt ein Koordinatensystem fest und die Komponenten eines Vektors bezüglich dieser Basis werden als die Koordinaten des Punktes bezeichnet. Ein Punkt hat dabei die Dimension Null.
Alle anderen geometrischen Objekte werden als Mengen von Punkten definiert. So wird etwa eine Gerade als eindimensionaler affiner Unterraum und eine Ebene als zweidimensionaler affiner Unterraum definiert. Eine Sphäre wird als die Menge der Punkte definiert, die zum Mittelpunkt einen bestimmten Abstand haben.
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Punkt_(Geometrie)

Jetzt sind wir aber weit in die Mathematik abgedriftet....
Schönen Tag noch, muß jetzt weg....

Die ersten 4 Grundregel Punkt/Linie von Euklid:

1. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν
2. Γαμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές
3. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα
4. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾿ ἐαυτῆς σημείοις κεῖται

Geometrie Euklids zum Wochenende ;-) ....Aber trotzdem interessant, welche Gedanken sich die Griechen in der Mathematik schon gemacht haben, weches Wissen sie schon hatten und mit welcher Präzision sie zum Teil argumentieren.....

Der Raum ist eine Prämisse dabei, ja? Ich sehe nicht, wo der definiert würde.
So kenne ich es auch aus der Logik, daß nämlich jedes System von Definitionen und Axiomen undefinierte 'Restbestände' beinhalten muß.
So wie - Kurt Gödels Unvollständigkeitstheorem! - jedes System wahrer Aussagen Aussagen beinhalten muß, deren Wahrheit nicht innerhalb dieses Systems abgeleitet werden kann.

Euklid rechnet hauptsächlich in der Flächengeometrie (2-D Raum) und in der Raumgeometrie (3-D) von Körpern (Prisma, Kegel, Zylinder usw.)

Die Grundaxiome und -postulate beruhen darauf als Grundbedingungen. Die Mathematiker der Neuzeit haben diese Geometrie erweitert und vervollständigt (Analytische Geometrie z.B.). Außerdem folgte eine Erweiterung in den n-dimensionalen Raum (Bsp. 4-D mit zusätzlicher Zeitachse)
Außerdem enstanden auch nicht-euklidische Geometrien, in denen z.B. die Winkelsumme im Dreieck nicht 180 Grad ist. –> Riemann´sche Geometrie
Zeichne mal ein Dreieck auf eine Kugel... durch die Krümmung ist die Winkelsumme nicht 180 Grad ;-)

Riemann'sche und Lobatschewskij'sche Geometrie - davon habe ich schon gehört:

• Die Lobatschewskijsche Geometrie: In einer Ebene sei eine Gerade L und ein Punkt P nicht auf L gegeben. Dann gibt es mindestens zwei Geraden durch P, die parallel sind.
• Die Riemannsche Geometrie: In einer Ebene sei eine Gerade L und ein Punkt P nicht auf L gegeben. Dann gibt es keine Gerade durch P, die parallel zu L wäre.

(Quelle: Philip J. Davis/Reuben Hersh, Erfahrung Mathematik. Basel 1985, S. 226-229)

Bei Euklid gibt es nur genau eine parallele Gerade - bei Riemann keine, bei Lobatschewskij mehr als eine.

Übrigens, da du ja Philosoph bist:
Die analytische Geometrie , die wir auch in der Schule im LK Mathe hatten, wurde vom Philosophen und Mathematiker René Descartes mit begründet...:-)

Die Zahl der mathematisierenden Philosophen oder philosophierenden Mathematiker ist nicht klein. Ich erwähne nur noch Leibnitz, Gottlob Frege und Bertrand Russell.
Unter den Griechen hatten Thales und Pythagoras diese Doppelqualifikation.

Ist es denn bei den Griechen eine "Doppelqualifikation"? Ich habe nicht mehr im Kopf, wie weit Ihr mit Platons Akademie gediehen wart, aber hat das nicht z.T. damit zu tun, dass es keine wirkliche "Doppelqualifikation" ist?