α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ C Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω ἀ ἁ ά ὰ ᾶ ἄ ἅ ἂ ἃ ἆ ἇ ᾳ ᾷ Ἀ Ἁ Ἄ Ἅ Ἂ Ἃ Ἆ Ἇ ἐ ἑ έ ὲ ἔ ἕ ἒ ἓ Ἐ Ἑ Ἔ Ἕ ἠ ἡ ή ὴ ῆ ἤ ἥ ἢ ἣ ἦ ἧ ῃ ῇ ᾗ Ἠ Ἡ Ἤ Ἥ Ἦ Ἧ ἰ ἱ ί ὶ ἴ ἵ ἲ ἳ ἶ ἷ ῖ Ἰ Ἱ Ἴ Ἵ Ἶ Ἷ ὀ ὁ ό ὸ ὄ ὅ ὂ ὃ Ὀ Ὁ Ὄ Ὅ Ὂ Ὃ ῥ ὐ ὑ ύ ὺ ὔ ὕ ὒ ὓ ὖ ὗ ῦ Ὑ Ὓ Ὕ Ὗ Ῠ Ῡ Ὺ Ύ ὠ ὡ ώ ὼ ὤ ὥ ὢ ὣ ὦ ὧ ῳ ῶ ῷ ᾧ ᾤ Ὠ Ὡ Ὤ Ὥ Ὢ Ὣ Ὦ Ὧ Schließen Bewegen ?
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Aristoteles beweist das Axiom vom zu vermeidenden Widerspruch (518 Aufrufe)
Γραικίσκος schrieb am 17.07.2019 um 18:19 Uhr (Zitieren)
Wir dagegen haben angenommen, es sei unmöglich, daß etwas zugleich sei und nicht sei, und haben hieraus erwiesen, daß dies das sicherste unter allen Prinzipien ist. Manche verlangen nun aus Mangel an Bildung, man solle auch dies beweisen; denn Mangel an Bildung ist es, wenn man nicht weiß, wofür ein Beweis zu suchen ist und wofür nicht. Denn daß es überhaupt für alles einen Beweis gebe, ist unmöglich, sonst würde ja ein Fortgang ins Unendliche eintreten und auch so kein Beweis stattfinden. Wenn aber für manches kein Beweis gesucht werden darf, so möchten sie wohl nicht angeben können, was sie denn mit mehr Recht für ein solches Prinzip halten wollten. Doch ein widerlegender Beweis für die Unmöglichkeit der Behauptung läßt sich führen, sobald der dagegen Streitende nur überhaupt redet; wo aber nicht, so wäre es ja lächerlich, gegen den reden zu wollen, der über nichts Rede steht, gerade insofern er nicht Rede steht; denn ein solcher ist als solcher einer Pflanze gleich. Den widerlegenden Beweis aber unterscheide ich von dem eigentlichen direkten Beweis; wollte man diesen führen, so würde man das zu Erweisende vorauszusetzen scheinen; ist aber der andere, Streitende schuld daran, so ergibt sich eine Widerlegung, aber nicht ein eigentlicher Beweis. Der Ausgangspunkt bei allen derartigen Diskussionen ist nicht, daß man vom Gegner verlangt, er solle erklären, daß etwas sei oder nicht sei (denn dies würde man schon für eine Annahme des zu Beweisenden ansehen), sondern daß er im Reden etwas bezeichne für sich wie für einen anderen; denn das ist ja notwendig, sofern er überhaupt etwas reden will. Wo nicht, so hätte ja ein solcher gar keine Rede, weder zu sich selbst noch zu einem andern. Gibt jemand einmal dies zu, so läßt sich ihm auch die Wahrheit des Axioms erweisen; denn es ist dann schon etwas fest bestimmt. Die Grundlage zum Beweise aber gibt nicht der Beweisende, sondern der, welcher Rede steht; denn er steht Rede, obgleich er doch die Rede aufhebt. [Und ferner hat der, der dies zugab, zugleich zugegeben, daß etwas wahr sei ohne Beweis, so daß sich also nicht alles zugleich so und auch nicht so verhalten würde.]

(aus: Metaphysik IV 3-6)

Der Beweis ist also ein indirekter: Wer die Gültigkeit des Axioms, daß eine Aussage nicht zugleich wahr und falsch sein kann, bestreitet, setzt es als gültig voraus, denn wenn er sagt, das Axiom sei falsch, dann unterscheidet er zwischen wahr und falsch, hält sich also genau an das Axiom.

Diese Methode des indirekten Beweises durch die Unmöglichkeit der Bestreitung einer Aussage, indem der Bestreitende die Wahrheit der Aussage voraussetzt, hat später in der Philosophie (Kant usw.) noch eine große Karriere gemacht.
Re: Aristoteles beweist das Axiom vom zu vermeidenden Widerspruch
Platon schrieb am 18.07.2019 um 09:02 Uhr (Zitieren)
Axiome kann man nicht beweisen. Man kann sie nur plausibel machen und mit ihnen arbeiten.
Solange sie sich bewähren und zu keinen Widersprüchen führen, sind sie die sinnvolle Grundlage von Gedankengebäuden, die widerspruchsfrei sind und dazu dienen können, Wirklichkeit zu beschreiben.
Die grundsätzliche Frage ist, wie man Beweis definiert. Beweise basieren auf Axiomen, die man nicht mehr hinterfragen kann.
Jeder Beweis ist nur so gut wie die Axiome, auf denen er beruht.
Dass Axiome sich auch als falsch oder unzulänglich erweisen können, beweist die
Geschichte der Naturwissenschaft.
Viele Axiome mussten aufgegeben werden, weil sie
mit neuen Erkenntnissen nicht mehr vereinbar waren.
(vgl: Thomas Kuhn, Die Struktur wissenschaftlicher Revolutionen)
Stichwort: Paradigma-Wechsel
Das griechische Verb axioo = ich halte für wahr (=plausibel) drückt diesen Sachverhalt m.E. sehr gut aus, ein "Beweis" für die treffende Wahl des Terminus "Axiom".
Axiome sind etwas, an das man letztlich glaubt bzw. auf das man vertraut, weil es sich bewährt hat. Auf Enttäuschungen muss man wie bei allem, was auf Vertrauen beruht, immer gefasst sein.
Warten wir also auf die 4. große Kränkung der Menschheit, während wir uns weiterhin von den 3 vorherigen erholen müssen.
Re: Aristoteles beweist das Axiom vom zu vermeidenden Widerspruch
Γραικίσκος schrieb am 18.07.2019 um 13:58 Uhr (Zitieren)
Was bei Axiomen sicher nicht möglich ist, ist der direkte Beweis, d.h. die Ableitung aus Prämissen. Axiome sind die obersten Prämissen.
Aristoteles' genialer Einfall ist aber der, einen indirekten Beweis zu führen, nämlich für die Undenkbarkeit des Gegenteils. Er will zeigen, daß jemand, der das Axiom vom zu vermeidenden Widerspruch für falsch erklärt, sich dabei genau auf dieses Axiom beruft: w ǂ f.
 
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