Das Verb flitschen habe ich noch nie gehört.
In Netz finde ich dazu:

Die konjugierte Form „du flitscht“ ist in Österreich zulässig, da gemäß dem Österreichischen Wörterbuch bei Verben mit dem Stammauslaut …sch „auch die Endung -t (ohne vorangehendes s) korrekt“ ist. Diese Verbform wird jedoch auch im gesamten deutschen Sprachgebiet umgangssprachlich verwendet.

umgangssprachlich: mit der Hand oder den Fingern ein Gummiband oder einen Stein schießen
[2] umgangssprachlich: den Mittelfinger gegen den Daumen spannen und hervorschnellen lassen, zum Beispiel um damit jemandem weh zu tun

oder hier:
https://www.dwds.de/wb/flitschen

Das Verb flitschen habe ich noch nie gehört.
In Netz finde ich dazu:

Die konjugierte Form „du flitscht“ ist in Österreich zulässig, da gemäß dem Österreichischen Wörterbuch bei Verben mit dem Stammauslaut …sch „auch die Endung -t (ohne vorangehendes s) korrekt“ ist. Diese Verbform wird jedoch auch im gesamten deutschen Sprachgebiet umgangssprachlich verwendet.

umgangssprachlich: mit der Hand oder den Fingern ein Gummiband oder einen Stein schießen
[2] umgangssprachlich: den Mittelfinger gegen den Daumen spannen und hervorschnellen lassen, zum Beispiel um damit jemandem weh zu tun

oder hier:
https://www.dwds.de/wb/flitschen

Wir haben als Kinder dieses Spiel natürlich auch gespielt, und wir haben das immer so genannt.

Es am Meer samt Wellen zu spielen (statt an Fluß oder See), stellt eine eigene Herausforderung dar.

Ist "fitschen" geläufiger?

In meinem Wortschatz kam bisher weder das eine noch das andere vor. Es fällt übrigens auf, dass sowohl Minucius Felix als auch die griechischen Quellen* von Scherben sprechen, die für dieses bei den Griechen zudem ἐποστρακισμός genannte Spiel benutzt worden sein sollen. Zu den Gründen kann ich nichts sagen. Vielleicht findet man an den Mittelmeerküsten die geeigneten sehr flachen Kiesel nicht oder Tonscherben waren damals am Strand einfach überall vorhanden.

<sub>* ὁ δ᾽ ἐποστρακισμός, ὄστρακον τῶν θαλαττίων κατὰ τοῦ ὕδατος ἐπιπολῆς ἀφιᾶσιν, ἀριθμοῦντες αὐτοῦ τὰ πρὸ τοῦ καταδῦναι πηδήματα ἐν τῇ ὑπὲρ τὸ ὕδωρ ἐπιδρομῇ· ἐκ γὰρ τοῦ πλήθους τῶν ἁλμάτων ἡ νίκη τῷ βάλλοντι. Pollux, Onomasticon 9, 119 (Vol. 2, p. 180 ed. Bethe).

καὶ ὁ ἐποστρακισμός· εἶδος δὲ οὗτος παιδιᾶς, καθ᾽ ἥν, φασιν, ὀστράκια πλατέα ἐκτετριμμένα ὑπὸ θαλάσσης προΐενται κατὰ τῆς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ, καὶ ἐπιτρέχοντα ἐνίοτε πολλάκις, ἕως ἀτονήσαντα δυῶσι κατὰ θαλάσσης ἡδίστην ποιοῦνται πρόσοψιν. Eustathios, ad Il. 18, 543 (Vol. 4, p. 95 ed. Stallbaum).</sub>

Mir (rheinische' Jung') ist "flitschen" seit Kindertagen geläufig.
Die Bedeutungsspanne reicht vom 'mit den Fingern schnippen' [wenn ein Schüler nicht nur den Arm in die Höhe reckt, sondern dabei den gegen den Daumen gepreßten Mittelfinger unter entsprechender Geräuschentwicklung auf den Daumenballen schnellen läßt; Lehreransage: "wer flitscht, kommt nicht dran"] über Nr. 2 von Auroras Beitrag bis hin zum '(flache) Steine übers Wasser schleudern(, damit sie möglichst oft wieder von der Oberfläche hochspringen)'. Für letzteres haben wir damals (tm) auch 'Steine flippen' oder kurz 'flippern' gesagt.

Es fällt übrigens auf, dass sowohl Minucius Felix als auch die griechischen Quellen* von Scherben sprechen, die für dieses bei den Griechen zudem ἐποστρακισμός genannte Spiel benutzt worden sein sollen.

Können Scherben flitschen?
Bruchstücke halte ich wegen ihrer Oberfläche für kaum geeignet. Viel zu kantig.

Sofern sie nicht ganz glatt sind (meistens stammen sie ja von runden Gefäßen), halte auch ich Scherben für wenig geeignet. Falls sie hingegen glatt sind ...

Es ist ja sowohl bei Minucius Felix als auch bei Eustathios davon die Rede, dass die verwendeten Scherben durch das Meer abgeschliffen sein sollten.

Klar, die Oberfläche ist geglättet, aber bleibt nicht die Rundung (von der ehemaligen Gefäßwand)?

Wenn man bei Wikipedia "Scherbengericht" eingibt, werden drei solcher Scherben gezeigt. Ich halte sie nicht für flitsch-tauglich, weil sie nicht flach sind.

Ein Fall für die experimentelle Archäologie.

Bevor wir die Archäologen ihre Artefakte ins Meer werfen lassen, sollten wir uns vielleicht einen Überblick über den Formenbestand antiker Keramik verschaffen (der nicht auf bauchige Rotationskörper beschränkt war).

Dann ist die Lage eine andere (und mein Kenntnisstand war unvollkommen).

Für uns als Kinder galten Scherben als ungeeignet, aus dem genannten Grund.

Fiel diese nicht-bauchige Keramik mengenmäßig ins Gewicht? Es gab ja Unmengen von Scherben, die für Kinder zwar leicht zu beschaffen, aber (vermutlich) nicht geeignet waren fürs Flitschen.
Falls der andere Typus selten war, hätten sich doch flache Steine weit eher angeboten.